Integrali

Osserviamo che i due tratti sono composti da funzioni continue (composizioni, rapporti di funzioni continue vedi algebra delle funzioni continue). Rimane da verificare che lo sia anche nel punto di raccordo x = 4.

Imponiamo la continuità e determiniamo le condizioni sui parametri a e b.

La funzione f(x) è continua sul punto x = 4 se 

$ f(4) = \displaystyle\lim_{x \to 4^-} f(x) $

$ \frac {b}{4} = \frac{a}{2} \; ⇒ \; b = 2a $

La funzione si riduce così alla 

$ f(x) = \begin{cases}\frac{a}{\sqrt{x}} &\text {se  0 < x < 4 } \\ \frac{2a}{(x-2)^2} &\text {se x ≥ 4} \end{cases} $

Per avere a imponiamo l'ultima condizione 

$ \int_0^{+\infty} f(x) \, dx = 20 $

$ \int_0^4 \frac{a}{\sqrt{x}} \, dx + \int_4^{+\infty} \frac{2a}{(x-2)^2} = 20 $

a parte calcoleremo i due integrali

$ 4a + a = 20 \; ⇒ \; a = 4 \; ⇒ \; b = 8 $

a. $ a\int_0^4 \frac{1}{\sqrt{x}} \, dx = a \left. 2\sqrt{x} \right|_0^4 = 4a$

b. $ \int_4^{+\infty}  \frac{2a}{(x-2)^2} \, dx =$

$ = 2a \displaystyle\lim_{h \to +\infty}\int_4^h  \frac{1}{(x-2)^2} \, dx =$

$ = 2a \displaystyle\lim_{h \to +\infty}\left. -\frac{1}{x-2} \right|_4^h =$

$ = - 2a \displaystyle\lim_{h \to +\infty}(\frac{1}{h-2} - \frac{1}{2} )=$

$ = -2a \cdot - \frac{1}{2} = a $