Integrali

* Integrazione per parti:
* u = ln(x)
* dv = 1 / (x + 1)^2 dx
* du = 1/x dx
* v = -1 / (x + 1)
Applicando la formula di integrazione per parti:
∫ u dv = uv - ∫ v du

Otteniamo:
∫ (ln(x) / (x + 1)^2) dx = -ln(x) / (x + 1) | da 1 a +∞ + ∫ (1 / (x(x + 1))) dx da 1 a +∞

* Calcolo del primo termine:
-ln(x) / (x + 1) | da 1 a +∞ = [ -ln(∞) / (∞ + 1) ] - [ -ln(1) / (1 + 1) ] = 0 - 0 = 0

* Risoluzione del secondo integrale:
Scomponiamo la frazione:
1 / (x(x + 1)) = A/x + B/(x + 1)

Moltiplicando per x(x + 1):
1 = A(x + 1) + Bx

* Per x = 0: A = 1
* Per x = -1: B = -1
Quindi:
∫ (1 / (x(x + 1))) dx = ∫ (1/x - 1/(x + 1)) dx = ln|x| - ln|x + 1| = ln|x / (x + 1)|

* Calcolo dell'integrale definito:
∫ (1 / (x(x + 1))) dx da 1 a +∞ = ln|x / (x + 1)| | da 1 a +∞ = ln(1) - ln(1/2) = ln(2)

Risultato finale:
∫ (ln(x) / (x + 1)^2) dx da 1 a +∞ = 0 + ln(2) = ln(2)

Pertanto, l'integrale converge a ln(2).