Integrali

Osserviamo che il trinomio a denominatore a determinante positivo. Δ > 0.

Le due radici sono x= -3; x = 3. Operiamo con la tecnica di decomposizione della funzione integranda

$ \frac{1}{x^2-9} = \frac{A}{x+3} + \frac{B}{x-3} $

dalla quale ricaviamo

$ 1 = Ax-3A + Bx+3B $

per il principio di identità dei polinomi si ottiene il sistema

$ \left\{\begin{aligned} A+B &= 0 \\ -3A+3B &= 1 \end{aligned} \right. $

le sui soluzioni sono

• $ A =  -\frac{1}{6} $
• $ B = \frac{1}{6}$

 L'integrale dato si riduce così alla somma

$ = -\frac{1}{6} \int_1^2 \frac{1}{x+3} + \frac{1}{6} \int_1^2 \frac{1}{x-3} =$

$= \left. -\frac{1}{6}ln|x+3| + \frac{1}{6}ln|x-3|\right|_1^2 =$

$= \left. \frac{1}{6}[ln (\frac{|x-3|}{|x+3|}) \right|_1^2 =$

$ = \frac{1}{6} [ ln(\frac{1}{5}) - ln(\frac{1}{2})] = $

$ = -\frac{1}{6} [ln(5) - ln(2)] = $

$ =  -\frac{1}{6} ln(\frac{5}{2}) $