Integrali

Poniamo $ t = cot x \; ⇒ \; dt = -(1+cot^2 x) dx \; ⇒ \; dx = -\frac {dt}{1+t^2} $

$ \int cot^3x \, dx = $

$ = \int t^3 \cdot (\frac{-1}{1+t^2}) \, dt = $

$ = - \int  (\frac{t^3}{1+t^2}) \, dt = $

Procediamo con la divisione

$ = - \int t \, dt + \int (\frac{t}{1+t^2}) \, dt = $

$ = -\frac{t^2}{2} + \int (\frac{t}{1+t^2}) \, dt = ⊳$

Quest'ultimo integrale lo affrontiamo con il metodo di sostituzione.

Poniamo $ u = 1+t^2 \; ⇒ \; t^2 = u-1 \; ⇒ \; 2t\,dt = du \; ⇒ \; t\,dt = \frac {du}{2} $

$ \int (\frac{t}{1+t^2}) dt = $

$ = \frac{1}{2} \int (\frac{1}{u}) \, du = $

$ = \frac{1}{2} ln|u| + c =$

$ = \frac{1}{2} ln(1+t^2) + c $

Ritorniamo al passo con le t

$ ⊳ = -\frac{t^2}{2} + \frac{1}{2} ln(1+t^2) + c = $

$ = -\frac{cot^2}{2} + \frac{1}{2} ln(1+cot^2) + c $