[Risolto] Integrali

Problema: [ATTENDERE CONFERMA DI CORRETTEZZA]

Ogni funzione continua $f: [0,1] \rightarrow \mathbb{R}$ verifica le seguenti proprietà:

(stabilire la veridicità/falsità delle seguenti affermazioni.)

(i) Esiste $0 \leq t \leq  1$ tale che $\int_{0}^{t}f(x)dx=\int_{t}^{1}f(x)dx$. 🅅 🄵

(ii) La funzione $f$ ammette almeno un punto di minimo. 🅅 🄵

(iii) Esiste $0\lt t\lt 1$ tale che $f(t)=\frac{1}{2}$. 🅅 🄵

(iiii) Esiste $0\lt t\lt 1$ tale che $f(t)=\frac{f(0)+f(1)}{2}$. 🅅 🄵

Soluzione:

(i) $\int_{0}^{t}f(x)dx=\int_{t}^{1}f(x)dx$ può essere riscritta come

$\int_{0}^{t}f(x)dx=\int_{0}^{1}f(x)dx - \int_{0}^{t}f(x)dx$ ossia

$\int_{0}^{t}f(x)dx=\frac{\int_{0}^{1}f(x)dx}{2}$ .

Essa è verificata esclusivamente se $\int_{0}^{1}f(x)dx=0$ poiché per $t=0$ si ha $\int_{0}^{0}f(x)dx=0=\frac{\int_{0}^{1}f(x)dx}{2}$ e per $t=1$ si ha $\int_{0}^{1}f(x)dx=\frac{\int_{0}^{1}f(x)dx}{2}$. 🅅

(ii) se ciò detto in precedenza è vero, la funzione è continua e passa necessariamente per l'asse delle ascisse in $x \in [0;1]$, dunque essa presenta un $min(f)$ nell'intervallo preso in considerazione. 🅅

(iii) per il teorema fondamentale del calcolo integrale si ha che $F(t)=\int_{0}^{t}f(x)dx \rightarrow  F'(t)=f(t)$. Prendendo in esame l'equazione $\int_{0}^{t}f(x)dx=\int_{0}^{1}f(x)dx - \int_{0}^{t}f(x)dx$ che derivando diventa $f(t)=-f(t)$ ossia $f(t)=0$. 🄵  

(iiii) sapendo che $f(0)=F'(0)$ e $f(1)=F'(1)$ si ha che $f(t)=\frac{0}{2}=0$ che per ciò detto in precedenza è vera. 🅅

1.Detta F una primitiva

F(t) - F(0) = F(1) - F(t)

F(t) = [F(0) + F(1)]/2

Il valore F(t) é intermedio tra F(0) e F(1)

F é continua dato che ha derivata (f) continua.

Quindi verifica il teorema dei valori intermedi

e t esiste : V.

Il n. 4 esprime la stessa cosa su f e quindi é ancora V.

2. Sì, se intendi "assoluto" perché verifica le ipotesi

del Teorema di Weierstrass. Ma potrebbe non essere un

punto stazionario, v. esempio al n. 3.

3. Non é detto (F)

f(x) = x + 1 é continua in [0,1]

ma non assume valori minori di 1 in tale intervallo

e quindi non può valere 1/2.