Integrali

In questo caso si opera con le trig sub, sostituzioni standard per integrali del tipo $\sqrt{a-x^2}$

nel nostro caso, poniamo $ x = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} sin t \; ⇒ \; cost = \sqrt{1-\frac{3x^2}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \sqrt{2-3x^2} $  inoltre

$ x = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} sin t \; ⇒ \; dx = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} cos t \, dt $

$ \int \sqrt{2 - 3x^2} \, dx = $

$ = \int \sqrt{2 - \frac{3\cdot 2}{3} sin^2 t} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} cost \, dt = $

$ = \int \sqrt{2} \sqrt{1-sin^2t} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} cost \, dt = $

$ = \int \frac{2}{\sqrt{3}} cos^2 t \, dt = $

quest'ultimo è un integrale noto

$ = \int \frac{2}{\sqrt{3}} \frac{1}{2} (t + sint \cdot cost) \, dt = $

$ = \frac{1}{\sqrt{3}} (t + sint \cdot cost) + c = $

$ = \frac{1}{\sqrt{3}} arcsin (\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}x) + \frac{1}{\sqrt{3}}\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\frac{1}{\sqrt{3}} x \cdot \sqrt{2-3x^2} + c = $

$ = \frac{\sqrt{3}}{3} arcsin (\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}x) + \frac{1}{2} x \cdot \sqrt{2-3x^2} + c  $