Risolvere X SOSTITUZIONE.
Risolvere X SOSTITUZIONE.
5809
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Livello 2
Poniamo $ x = \sqrt{3} sin t \; ⇒ \; dx = \sqrt{3} cos(t) , dt \; ⇒ \; t = arcsin (\frac{x}{\sqrt{3}}) $ inoltre
$ x = \sqrt{3} sin t \; ⇒ \; sin(t) = \frac{x}{\sqrt{3}} \; ⇒ \; cos (t) = \frac{1}{3}\sqrt{3-x^2} $
per cui
$ \int \sqrt{3-x^2} \, dx = $
$= \int \sqrt{3}cos(t) \cdot \sqrt{3}cos(t) \, dt = $
$ = 3 \int cos^2(t) \, dt = $
integrale noto
$ = 3 \frac{1}{2}(t + sin(t)cos(t)) + c = $
$ = \frac{3}{2} arcsin (\frac{x}{\sqrt{3}}) + \frac{3}{2} \cdot \frac{x}{\sqrt{3}} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}\sqrt{3-x^2} + c = $
$ = \frac{3}{2} arcsin (\frac{x}{sqrt{3}}) + \frac{x}{2} \sqrt{3-x^2} + c $
13694
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Livello 4