[Risolto] Integrali

Problema:

Sia $f$ una funzione continua in $\mathbb{R}$. Utilizzando una opportuna sostituzione dimostra che:

$\int_{0}^{\frac{π}{2}}f(\sin x)dx =\int_{0}^{\frac{π}{2}}f(\cos x)dx$

Soluzione:

L'equazione può essere riscritta come 

$\int_{0}^{\frac{π}{2}}f(\sin x)dx -\int_{0}^{\frac{π}{2}}f(\cos x)dx=0$ 

sostituendo con $x=\frac{π}{2}-t$, $t=\frac{π}{2}-x$ e $dx=-dt$ si arriva a 

$-\int_{\frac{π}{2}}^{0}f(\sin (\frac{π}{2}-t))dt -\int_{0}^{\frac{π}{2}}f(\cos x)dx=0$

$\int_{0}^{\frac{π}{2}}f(\sin (\frac{π}{2}-t))dt -\int_{0}^{\frac{π}{2}}f(\cos x)dx=0$

poiché $\sin (\frac{π}{2}-φ) = \cos (φ)$ si ottiene

$\int_{0}^{\frac{π}{2}}f(\cos (t))dt -\int_{0}^{\frac{π}{2}}f(\cos x)dx=0$

ossia

$\int_{0}^{\frac{π}{2}}f(\cos (t))dt=\int_{0}^{\frac{π}{2}}f(\cos x)dx$

$0=0$

quod erat demonstrandum

\[\int_{0}^{\pi} f(\sin{(x)})\,dx \:\Bigg|_{\phi = \frac{\pi}{2} - x}^{dx = -d\phi} = \int_{\frac{\pi}{2}}^{0} f\left(\sin{(\frac{\pi}{2} - \phi)}\right)\,(-d\phi) = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(cos{(\phi)})\,d\phi \implies\]

\[\int_{0}^{\pi} f(\sin{(x)})\,dx = \int_{0}^{\pi} f(\cos{(x)})\,dx\,.\]

Non ci vuole molto a capire che la sostituzione da fare é u = pi/2 - x

(x = pi/2 - u) e quindi

S_[0,pi/2] f(sin(x)) dx = S_[pi/2,0] f[sin(pi/2-u)] d(-u) =

= S_[0,pi/2] f(cos(u)) du = S_[0,pi/2] f(cos(x)) dx

e la tesi é provata.

Nota : basta anche la continuità di f in [0,1].