Integrali

∫(4/(x^2 + 6·x + 11)) dx =

=4·∫(1/(x^2 + 6·x + 11)) dx =

Analizzo funzione integranda:

1/(x^2 + 6·x + 11) = 1/((x + 3)^2 + 2)

(completamento di un quadrato)

Per sostituzione:

x+3=t-----> x=t-3---> dx=dt

Quindi integrale diviene:

4·∫(1/(t^2 + 2))dt =

=4·∫(1/(2((t/√2)^2 + 1))dt =

ancora sostituzione:

t/√2 = u----> t=√2·u---> dt=√2·du

=4/2·√2·∫(1/(u^2 + 1))du =

=2·√2·ATAN(u)=

=2·√2·ATAN(t/√2)=

=2·√2·ATAN((x+3)/√2) + C

la cui derivata è appunto:

4/(x^2 + 6·x + 11) cioè la funzione integranda

$ \int \frac{4}{x^2+6x+11} \, dx = $

Il denominatore non è scomponibile (discriminante negativo) non ci resta che completare il quadrato .

$ = 4 \int \frac{1}{2+(x+3)^2} \, dx = $

per essere un integrale dell'arcotangente dobbiamo sostituire il 2 con un 1. 

$ = 4 \int \frac{1}{2+2(\frac{x+3}{\sqrt{2}})^2} \, dx = $

$ = \frac{4}{2} \int \frac{1}{1+(\frac{x+3}{\sqrt{2}})^2} \, dx = $

$ = 2 \int \frac{1}{1+(\frac{x+3}{\sqrt{2}})^2} \, dx = $

ci siamo quasi, per essere un integrale immediato deve comparire la derivata di $f(x) =  \frac{x+3}{\sqrt{2}}$ cioè $\frac{1}{\sqrt{2}}$

$ = 2 \sqrt{2} \int \frac{1}{1+(\frac{x+3}{\sqrt{2}})^2} \, \sqrt{2} \, dx = $

$ = 2 \sqrt{2} arctan \left(\frac{x+3}{\sqrt{2}} \right) + c $