S 1/(2tg^(3))x dx
Da svolgere X SOSTITUZIONE.
Spiegare i passaggi.
S 1/(2tg^(3))x dx
Da svolgere X SOSTITUZIONE.
Spiegare i passaggi.
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Livello 2
TAN(x) = t---> x = ATAN(t)
dx=1/(t^2 + 1)*dt
∫(1/(2·t^3)·(1/(t^2 + 1)) dt
la funzione integranda si sviluppa:
1/(2·t^3)·(1/(t^2 + 1)) = t/(2·(t^2 + 1)) + 1/(2·t^3) - 1/(2·t)
(metodo dei fratti semplici)
∫(t/(2·(t^2 + 1)))dt= LN(t^2 + 1)/4
∫(1/(2·t^3))dt=- 1/(4·t^2)
∫(1/(2·t))dt= LN(t)/2
facendo le sostituzioni:
LN(TAN(x)^2 + 1)/4= - LN(COS(x)^2)/4
- 1/(4·TAN(x)^2) = - COT(x)^2/4
Quindi l'integrale vale:
- LN(COS(x)^2)/4 + (- COT(x)^2/4)- LN(TAN(x))/2=
=- 2·LN(COS(x))/4 - LN(SIN(x)/COS(x))/2 - COT(x)^2/4=
=(- LN(COS(x))/2 - LN(SIN(x) - LN(COS(x)))/2) - COT(x)^2/4=
=- (LN(SIN(x) - LN(COS(x))) + LN(COS(x)))/2 - COT(x)^2/4=
=- LN(SIN(x))/2 - COT(x)^2/4 + C
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Genius II