Integrali

$  \int \frac{2}{(1+x^2)^2} \, dx = $

Usiamo la trig-sub $ x = tant \; ⇒ \; dx = cos^2 t dt $     inoltre    $ t = arctan x$

$ = 2 \int \frac{1}{(1+tan^2 t )^2} \, cos^2 t \, dt = $

Ricordiamo dalle derivate che $1+tan^2 x = \frac {1}{cos^2 x}$

Possiamo così semplificare

$ = 2 \int \frac{1}{(1+tan^2 t )} \, dt = $

Meglio scriverlo in coseno visto che è un integrale noto

$ = 2 \int cos^2 t  \, dt = $     non ripeto lo svolgimento che ho fatto nell'esercizio precedente

$ = 2 \frac{1}{2} [ t + sin(t)cos(t)] + c = $

$ =  arctan(x) + sin(arctan(x)\cdot cos(arctan(x) + c = $

altre formule note, per lo meno l'esistenza  

$ = arctan(x) + \frac{x}{\sqrt{x^2+1}} \cdot \frac{1}{\sqrt{x^2+1}} = $

$ = arctan(x) + \frac{x}{x^2+1} + c $