S sqrt(1-x^(2)) dx
Da svolgere X SOSTITUZIONE!
Spiegare i passaggi.
S sqrt(1-x^(2)) dx
Da svolgere X SOSTITUZIONE!
Spiegare i passaggi.
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Livello 2
$ \int \sqrt{1-x^2} \, dx = $
La prima cosa che viene il mente è la relazione tra seno e coseno.
Operiamo con una sostituzione trigonometrica (trig substitution)
Poniamo $ x = sin t \; ⇒ \; dx = cos t \, dt $ inoltre $ t = arcsin x$
$ = \int cos t \cdot cost \, dt = $
$ = \int cos^2 t \, dt = $ questo è un famoso integrale, invece di scrivere direttamente il risultato ricaviamolo
$ = \int \frac {1+cos(2t)}{2} \, dt = $
$ = \frac {1}{2} \int 1+cos(2t) \, dt = $
$ = \frac {1}{2} \left[ t + \frac{1}{2} sin(2t) \right] + c = $
$ = \frac {1}{2} arcsin(x) + \frac {1}{4} sin (2arcsin (x)) + c $
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Livello 4