Integrali

$ \int sin(\sqrt{x}) \, dx = $

Per parti.

• fattore finito $ f(x) = sin(\sqrt{x}) \; ⇒ \; f'(x) = \frac{cos(\sqrt{x})}{2\sqrt{x}} $
• fattore differ. $ g'(x) = 1 \; ⇒ \; g(x) = x $

per cui

$ = x sin(\sqrt{x}) - \frac{1}{2} \int \sqrt{x} cos(\sqrt{x}) \, dx = $

$ = x sin(\sqrt{x}) - \frac{1}{2} \left[ 2x sin(\sqrt{x}) - 4 sin(\sqrt{x}) + 4 \sqrt{x} cos(\sqrt{x} \right] + c = $

$ = + 2 sin(\sqrt{x}) - 2 \sqrt{x} cos(\sqrt{x}) + c = $

OK, come da testo

Rimane da provare che

$ \int \sqrt{x} cos(\sqrt{x}) \, dx = 2x sin(\sqrt{x}) - 4 sin(\sqrt{x}) + 4 \sqrt{x} cos(\sqrt{x}) $

$ \int \sqrt{x} cos(\sqrt{x}) \, dx = $ per parti

• fattore finito $ f(x) = \sqrt{x} \; ⇒ \; f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} $
• fattore differ. $ cos(\sqrt{x})  ; ⇒ \; g(x) = 2\sqrt{x} sin(\sqrt{x}) + 2cos(\sqrt{x}) $

$ = 2x sin(\sqrt{x}) + 2\sqrt{x} cos(\sqrt{x}) - \int sin(\sqrt{x}) + \frac{cos(\sqrt{x})}{\sqrt{x}} \, dx $

$ = 2x sin(\sqrt{x}) + 2\sqrt{x} cos(\sqrt{x}) - \left(2sin(\sqrt{x})-2\sqrt{x} cos(\sqrt{x})+2sin(\sqrt{x}) \right)  = + c $

$ = 2x sin(\sqrt{x}) + 4\sqrt{x} cos(\sqrt{x}) - 4sin(\sqrt{x})+ c  = $