[Risolto] Integrali

rimproverandoti di avere infranto il regolamento postando lo stesso problema due volte, io lo risolverei così mediante sostituzione:

$\sqrt{e^x}=t$ cioè

$e^{x/2}=t$

derivando ottieni

$\frac{1}{2}e^{x/2}=dt/dx$ e cioè

$\sqrt{e^x}dx=2dt$

Pertanto scrivi:

$\int \sqrt{\frac{e^x}{1-e^x}} \,dx =\int \frac{\sqrt{e^x}}{\sqrt{1-e^x}} \,dx = \int \frac{2}{\sqrt{1-t^2}} \,dt$

adesso porti fuori il $2$ e devi riconoscere che la funzione integranda ha come primitiva le funzioni $arcsin(t)+C$:

quindi

$\int \frac{2}{\sqrt{1-t^2}} \,dt= 2arcsin(t)+C=2arcsin \sqrt{e^x}+C$

S rad (e^x)/rad(1 - e^x) dx

può essere rivisto come

S e^(x/2) dx/2 / rad(1 - (e^(x/2))^2) * 2 =

= 2 arcsin*(e^(x/2)) + C =

= 2 arcsin* (rad(e^x)) + C

imponendo la condizione indicata si ha quindi

pi/2 = 2 arcsin* e^(-ln2 / 2) + C

pi/4 = arcsin* 2^(-1/2) + C

sin (pi/4) = 1/rad(2) + C

c = rad(2)/2 - rad(2)/2 = 0

F(x) = 2 arcsin* (rad(e^x))