Integrali

La presenza del logaritmo ci suggerisce di provare con la tecnica di integrazione per parti.

• fattore finito $ f(x) = ln(1+\sqrt{x+1}) \; ⇒ \; f'(x) = \frac {1}{2(x+\sqrt{x+1}+1)} $
• fattore differ. $ g'(x) = 1 \; ⇒ \; g(x) = x $

per cui

$ = xln(1+\sqrt{x+1}) - \frac{1}{2} \int \frac {x}{(x+\sqrt{x+1}+1)} \, dx = $

$ = xln(1+\sqrt{x+1}) - \frac{1}{2} \int \frac {x+\sqrt{x+1}+1}{(x+\sqrt{x+1}+1)} \, dx + \frac{1}{2} \int \frac {\sqrt{x+1}+1}{(x+\sqrt{x+1}+1)} \, dx= $

$ = xln(1+\sqrt{x+1}) - \frac{x}{2} + \frac{1}{2} \int \frac {\sqrt{x+1}+1}{(x+\sqrt{x+1}+1)} \, dx= $

dall'identità $ x = (\sqrt{x+1} + 1)(\sqrt{x+1}-1)$ ricaviamo$(\sqrt{x+1} + 1) = \frac {x}{\sqrt{x+1}-1} $

per cui

$ = xln(1+\sqrt{x+1}) - \frac{x}{2} + \frac{1}{2} \int \frac {\frac{x}{\sqrt{x+1}-1}}{(x+\sqrt{x+1}+1)} \, dx= $

Sviluppando il prodotto e semplificando

$ = xln(1+\sqrt{x+1}) - \frac{x}{2} + \frac{1}{2} \int \frac {1}{\sqrt{x+1}} \, dx= $

$ = xln(1+\sqrt{x+1}) - \frac{x}{2} + \sqrt{x+1} + c $