Integrali

Divisione. $ \frac{x^5}{(x^2-1)^2} = x + \frac{2x^3-x}{(x^2-1)^2} $

Integrazione.

$ I = \int \frac{x^5}{(x^2-1)^2} \, dx = \int x \, dx + \int \frac{2x^3-x}{(x^2-1)^2} \, dx $

$ I = \frac{x^2}{2} + \int \frac{2x^3-x}{x^4 -2x^2+1} \, dx $

Osserviamo che la derivata del denominatore vale $ 4x^3-4x $ rendiamolo immediato

$ I = \frac{x^2}{2} + \frac{1}{2} \int \frac{4x^3 - 2x}{x^4 -2x^2+1} \, dx $

$ I = \frac{x^2}{2} + \frac{1}{2} \int \frac{4x^3 - 4x + 2x}{x^4 -2x^2+1} \, dx $

$ I = \frac{x^2}{2} + \frac{1}{2} \int \frac{4x^3 - 4x}{(x^2-1)^2} \, dx + \frac{1}{2} \int \frac{x}{(x^2-1)^2} \, dx  $

$ I = \frac{x^2}{2} + \frac{1}{2} ln(x^2-1)^2 + \frac{1}{2} \int(x^2-1)^{-2} \, dx  $

$ I = \frac{x^2}{2} + ln|x^2-1| -  \frac{1}{2} (x^2-1)^{-1} + c  $

$ I = \frac{x^2}{2} + ln|x^2-1| -  \frac {1}{2x^2-2} + c  $