Integrali

S (tg x + 2 cotg x)^2 dx

sviluppo il quadrato

S (tg^2 (x) + 4 tg x cotg x + 4 cotg^2(x) ) dx

porto tutto a seno e coseno - osservo che tg x * cotg x = 1 e

separo gli integrali per la proprietà della somma

S sin^2(x)/cos^2(x) dx + 4 S dx + 4 S cos^2(x)/sin^2(x) dx

nel primo integrale pongo sin^2(x) = 1 - cos^2(x)

nell'ultimo invece cos^2(x) = 1 - sin^2(x)

S (1 - cos^2(x))/cos^2(x) dx + 4x + 4 S(1 - sin^2(x))/sin^2(x) dx =

spezzo le frazioni

= S 1/cos^2(x) dx - S dx + 4x + 4 S 1/sin^2(x) dx - 4 S dx =

= tg x - x + 4x - 4 cotg x - 4x + C

avendo riconosciuto che la derivata di tg x é 1/cos^2(x)

e quella della cotangente é -1/sin^2(x) ... ...

Semplificando e riordinando, risulta infine

F(x,C) = - 4 cotg x + tg x - x + C