Integrali

$ I = \int \sqrt{e^x-1} \, dx $     

per parti

• fattore finito $ f(x) = \sqrt{e^x-1} \; ⇒ \; f'(x) = \frac{e^x}{2\sqrt{e^x-1}} $
• fattore differ. $ g'(x) = 1 \; ⇒ \; g(x) = x $

per cui

$ I = x\sqrt{e^x-1} - \frac{1}{2}\int \frac{xe^x}{\sqrt{e^x-1}} \, dx $

ancora per parti

• fattore finito $ f(x) = xe^x \; ⇒ \; f'(x) = e^x(x+1) $
• fattore differ. $ g'(x) = \frac{1}{\sqrt{e^x-1}} \; ⇒ \; g(x) = 2arctan(\sqrt{e^x-1}) $

per cui

$ I = x\sqrt{e^x-1} - \frac{1}{2} \left[2xe^x arctan(\sqrt{e^x-1}) - 2\int e^x(x+1)arctan(\sqrt{e^x-1}) \, dx \right] $

$ I = x\sqrt{e^x-1} - xe^x arctan(\sqrt{e^x-1}) + \int e^x(x+1)arctan(\sqrt{e^x-1}) \, dx $

$ I = x\sqrt{e^x-1} - xe^x arctan(\sqrt{e^x-1}) + \int x e^x arctan(\sqrt{e^x-1}) \, dx + \int e^x arctan(\sqrt{e^x-1}) \, dx $

$ I = x\sqrt{e^x-1} - xe^x arctan(\sqrt{e^x-1}) + \left(e^x(x-1) -2)arctan(\sqrt{e^x-1}) \right) - \sqrt{e^x-1} (x-3) + e^xarctan(\sqrt{e^x-1})- \sqrt{e^x-1} + c $

$ I = x\sqrt{e^x-1} - xe^x arctan(\sqrt{e^x-1}) + xe^x arctan(\sqrt{e^x-1}) - e^x arctan(\sqrt{e^x-1}) -2e^x arctan(\sqrt{e^x-1})-x\sqrt{e^x-1}+3\sqrt{e^x-1}+e^x arctan(\sqrt{e^x-1})-\sqrt{e^x-1} + c$

$ I = 2\sqrt{e^x-1} - 2e^x arctan(\sqrt{e^x-1}) + c$

Lasciatemelo dire "Evviva la sostituzione!"