Integrali

La presenza di un prodotto ci suggerisce di provare con la tecnica di integrazione per parti.

• fattore finito $ f(x) = x^2 \; ⇒ \; f'(x) = 2x $
• fattore differ. $ g'(x) = (x+1)^4 \; ⇒ \; g(x) = \frac{1}{5} (x+1)^5$

per cui

$ = \frac{1}{5} x^2(x+1)^5 - \frac{2}{5} \int x(x+1)^5 \, dx = $

di nuovo per parti

• fattore finito $ f(x) = x \; ⇒ \; f'(x) = 1 $
• fattore differ. $ g'(x) = (x+1)^5 \; ⇒ \; g(x) = \frac{1}{6} (x+1)^6$

$ = \frac{1}{5} x^2(x+1)^5 - \frac{2}{5}\left( \frac{1}{6}x(x+1)^6 - \frac{1}{6} \int (x+1)^6 \, dx \right) =$

$ = \frac{1}{5} x^2(x+1)^5 - \frac{1}{15}x(x+1)^6 + \frac{1}{105} (x+1)^7  + c =$

$ = \frac{1}{105} (x+1)^5 (21x^2-7x(x+1)+(x+1)^2) + c =$

$ = \frac{1}{105} (x+1)^5 (15x^2-5x+1) + c =$