Integrali

Problema:

Si calcoli il seguente integrale:

$\int \frac{e^\sqrt{x} dx}{\sqrt{x}}$

Soluzione:

L'unica via diretta che mi viene in mente per individuare un insieme di primitive per la funzione integranda è la sostituzione, in alternativa potresti provare con le serie ma non mi risulta siano parte del programma delle scuole superiori visto che ci sono delle considerazioni particolari da non trascurare.

Sostituendo

$t=\sqrt{x} \rightarrow dt=\frac{dx}{2\sqrt{x}}$

Si ottiene 

$\int \frac{e^\sqrt{x} dx}{\sqrt{x}}=\int 2e^t dt= 2e^t+c=2e^\sqrt{x} +c, c \in R$.

La derivata dell'esponente √x è $\frac{1}{2√x}$. E' così facile renderlo un integrale immediato di tipo esponenziale.

$ = 2\int e^{\sqrt{x}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} \, dx = 2e^{\sqrt{x}} + c $