Integrali

L'integrale si scompone come:

$ \int \frac{1}{(x^2+2)^2}dx$

La spiegazione di questo integrale è davvero lunga e laboriosa e la trovi qui

https://www.youmath.it/forum/analisi-1/72480-integrale-di-11t22.html

Alla fine della dimostrazione si vede che vale questa formula:

$\int \frac{1}{(x^2+1)^2}dx = \frac{x}{1+x^2}+\arctan(x)+c$

Nel tuo caso devi prima fare qualche passaggio algebrico per avere l'1 al denominatore e la derivata:

$\int \frac{1}{(x^2+2)^2}dx= \frac{1}{4}\int \frac{1}{[(\frac{x}{\sqrt{2}})^2+1]^2}dx=
\frac{\sqrt{2}}{4}\int \frac{1/\sqrt{2}}{[(\frac{x}{\sqrt{2}})^2+1]^2}dx$

a questo punto ottieni semplicemente:

$=\frac{x}{\sqrt{2}(1+x^2(2)}+\arctan(\frac{x}{\sqrt{2})+c$

La soluzione è leggermente diversa da quella riportata sul tuo libro, ma sono equivalenti a meno di costanti arbitrarie.