Integrali

Completiamo il quadrato al denominatore

$ \frac{1}{x^2+x+1} = \frac{1}{\left(x+\frac{1}{2} \right)^2 + \frac{3}{4}} = \frac{4}{4 \left(x+\frac{1}{2} \right)^2 +3} = \frac{4}{(2x+1)^2 +3} $ 

passando all'integrale

$ = 4\int \frac{1}{(2x+1)^2 +3} \, dx = $

dividiamo per 3

$ = \frac{4}{3} \int \frac{1}{(\frac{2x+1}{\sqrt{3}})^2 +1} \, dx = $

Manca la derivata di $ (\frac{2x+1}{\sqrt{3}}) $ cioè $\frac{2}{\sqrt{3}}$ per avere un integrale immediato

$ = \frac{\sqrt{3}}{2} \frac{4}{3} \int \frac{1}{(\frac{2x+1}{\sqrt{3}})^2 +1} \frac{2}{\sqrt{3}}\, dx = $

$ = \frac{2}{\sqrt{3}} \int \frac{1}{(\frac{2x+1}{\sqrt{3}})^2 +1} \frac{2}{\sqrt{3}}\, dx = $

$ = \frac{2}{\sqrt{3}} arctan (\frac{2x+1}{\sqrt{3}}) + c $