iNTEGRALI

Procediamo con la divisione

$ \frac{u^5}{u^4-1} = u + \frac{u}{u^4-1} $

per cui

$ \int \frac {u^5}{u^4-1} \, dx = \int u \, du + \int \frac{u}{(u^2-1)(u^2+1)} \, du = ⊳ $

risolviamo a parte il secondo integrale

$ \int \frac{u}{(u^2-1)(u^2+1)} \, du = $

lo risolviamo con la decomposizione

$ \int \frac{u}{(u-1)(u+1)(u^2+1)} \, dx = \int \left(\frac{A}{u-1} + \frac{B}{u+1} + \frac{Cu+D}{u^2+1} \right) \, du = $

procediamo come al solito e dopo un po' di calcoli si ottiene

• $A = \frac{1}{4}$
• $B = \frac{1}{4}$
• $C = -\frac{1}{2}$
• $D = 0 $

per cui 

$ = \frac {1}{4}\int\frac{1}{u-1} \, du + \frac {1}{4}\int\frac{1}{u+1} \, du -\frac {1}{2}\int\frac{u}{u^2+1} \, du =$

$= \frac {1}{4} ln|u-1| + \frac {1}{4} ln|u+1| - \frac {1}{2} ln(u^2+1) + c =$

$= \frac {1}{4} ln|u^2-1| - \frac {1}{2} ln(u^2+1) + c $

Ritornando al caso generale

$ ⊳ =  \frac{1}{2} x^2 + \frac {1}{4} ln|u^2-1| - \frac {1}{2} ln(u^2+1) + c $