iNTEGRALI

Procediamo con la decomposizione 

$ \frac{1}{(x+2)^2(x-2)^2} = \frac{A}{x+2} + \frac{B}{(x+2)^2} +  \frac{C}{x-2} + \frac{D}{(x-2)^2}$

$ 1 = A(x+2)(x-2)^2 + B(x-2)^2 + C(x-2)(x+2)^2+D(x+2)^2 $

dalla quale ricaviamo, per il principio di identità dei polinomi, un sistema la cui soluzione è

• $A = \frac{1}{32}$
• $B = \frac{1}{16}$
• $C = -\frac{1}{32}$
• $D = \frac{1}{16}$

per cui

$ \int \frac{1}{(x+2)^2(x-2)^2} \, dx  = \frac{1}{32} \int \frac{1}{x+2} \, dx - \frac{1}{32} \int \frac{1}{x-2} \, dx + \frac{1}{16} \int \frac{1}{(x+2)^2} \, dx + \frac{1}{16} \int \frac{1}{(x-2)^2} \, dx = $

$  = \frac{1}{32} ln \frac{|x+2|}{|x-2|} - \frac{1}{16} \frac{1}{(x+2)}  - \frac{1}{16} \frac{1}{(x-2)} + c = $

$ = -\frac{1}{32} ln \frac{|x-2|}{|x+2|} - \frac{1}{16} \frac{1}{(x+2)}  - \frac{1}{16} \frac{1}{(x-2)} + c = $