iNTEGRALI

Divisione. $ \frac{x^3}{x^2-4x+3} =  x+4+\frac{13x-12}{(x-1)(x-3)} $

$ \int \frac{x^3}{x^2-4x+3} \, dx =  \int x \, dx +4\int \, dx + \int \frac{13x-12}{(x-1)(x-3)} \, dx $ = $

$ = \frac{x^2}{2} + 4x + \int \frac{13x-12}{(x-1)(x-3)} \, dx = ⊳ $

Procediamo con la decomposizione 

$ frac{13x-12}{(x-1)(x-3)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x-3} $

$ 13x - 12 = Ax - 3A + Bx- B $ dalla quale ricaviamo il sistema

$ \left\{\begin{aligned} A+B &= 13 \\ -B-3A &= -12 \end{aligned} \right. $ 
la soluzione è

• $A = -\frac{1}{2}$
• $B = \frac{27}{2}$

per cui

$ ⊳ =\frac{x^2}{2} + 4x - \frac{1}{2}\int \frac{1}{x-1} \, dx + \frac{27}{2} \int \frac{1}{x-3} \, dx = $

$ = \frac{x^2}{2} + 4x - \frac{1}{2}ln|x-1| + \frac{27}{2} ln|x-3| + c $