iNTEGRALI

Spezzo prima di tutto la frazione in modo da avere due integrali:

$\int \frac{x-1}{x^2+9} dx =\int \frac{x}{x^2+9} dx - \int \frac{1}{x^2+9} dx = $

Nel primo integrale possiamo ottenere al numeratore la derivata del denominatore: $D(x^2+9)=2x$ e risolvo come logaritmo:

$\int \frac{x}{x^2+9} dx= \frac{1}{2} \int \frac{2x}{x^2+9} dx = \frac{1}{2}\ln(x^2+9)+c$

Nel secondo integrale, avendo al denominatore un polinomio con $\Delta < 0$ procediamo usando l'arcotangente.

$\int \frac{1}{x^2+9} dx$

Metto in evidenza il 9, che porto fuori:

$\int \frac{1}{9(\frac{x^2}{9}+1)} dx = \frac{1}{9}\int \frac{1}{(\frac{x^2}{9}+1)} dx $ 

Riscrivo come:

$\frac{1}{9}\int \frac{1}{(\frac{x}{3})^2+1} dx $

Ora la derivata di $D(\frac{x}{3})=\frac{1}{3}$ pertanto abbiamo:

$\frac{1}{9}\int \frac{1}{(\frac{x}{3})^2+1} dx = \frac{3}{9}\int \frac{1/3}{(\frac{x}{3})^2+1} dx = \frac{1}{3}\arctan(\frac{x}{3})+c$

Mettendo tutto insieme otteniamo la soluzione:

$\frac{1}{2}\ln(x^2+9) - \frac{1}{3}\arctan(\frac{x}{3})+c$

Noemi