Integrali

• Divisione.  $ \frac{x^4}{x^2-4} = x^2+4+\frac{16}{x^2-4} $

Per l'additività dell'integrale

$ \int \frac{x^4}{x^2-4} \, dx = \int x^2 \, dx + \int 4 \, dx + \int \frac{16}{x^2-4} \, dx =$ 

$ = \frac{x^3}{3} + 4x + \int \frac{16}{(x+2)(x-2)} = ⊳ $ 

Procediamo con la decomposizione 

$ \frac{16}{(x+2)(x-2)} = \frac{A}{x+2} + \frac{B}{x-2} $

$ 16 = Ax - 2A + Bx+2B $ dalla quale ricaviamo il sistema

$ \left\{\begin{aligned} A+B &= 0 \\ 2B-2A &= 16 \end{aligned} \right. $ 
la soluzione è

$A = -4$
$B = 4$

per cui

$ ⊳ = \frac{x^3}{3} + 4x - 4\int \frac{1}{x+2} + 4\int \frac{1}{x-2} + c $

$ = \frac{x^3}{3} + 4x - 4ln|x+2| + 4ln|x-2| + c  = $

$ = \frac{x^3}{3} + 4x + 4ln \frac{|x-2|}{|x+2|} + c $

Gentilissimo Alby

non so chi sei ma so che sei un

Cretino

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