iNTEGRALI

Riaggiustiamo l'integranda in modo di ottenere un integrale immediato

$ = \int \frac {1}{e^x + \frac{1}{e^x}} \, dx = \int \frac{1}{1+e^{2x}} \cdot e^x \, dx =$

siamo di fronte a un integrale immediato del tipo

$ \int \frac{f'(x)}{1+(f(x))^2} \, dx = arctan (f(x)) + c $

per cui

$ = arctan (e^x) + c $ 

Ciao @Alby, temo che questa volta la tecnica di sostituzione sia davvero necessaria. Evitarla vorrebbe dire far diventare l'integrale estremamente complesso e lungo da risolvere.

Per curiosità, per quale motivo chiedi sempre di non usarla?

Se è perché la tecnica non ti è chiara, approfitto di questo esercizio per tentare di chiarirla una volta per tutte.

Perché usare sostituzione? Perché purtroppo in qualunque modo proviamo a girare e rigirare questa funzione, non riusciamo mai a fare in modo di trovare una funzione composta, con la sua derivata.

D'altra parte riconosciamo che si tratterebbe di una semplice frazione, se non ci fosse l'esponenziale... e allora vediamo di sostituirlo con qualcosa di più semplice.

$\int \frac{1}{e^x + e^{-x}} dx$

Pongo dunque

$e^x = t$

Esistono due tecniche di sostituzione: la sostituzione diretta e quella inversa. Per capire quale usare, proviamo a differenziare la nostra sostituzione, cioè facciamo la derivata a destra e sinistra, moltiplicando per i rispettivi differenziali:

$ e^x = t$

$ D(e^x) dx = D(t) dt$

$ e^x dx = 1 dt$

Ora puoi notare che nell'integrale compare il termine $dx$, ma non il termine $e^x dx$ che dunque non può essere sostituito direttamente.

Ci serve dunque la sostituzione inversa (che, aimé, è anche quella che quando presente non è sostituibile con altre tecniche.)

Per usare una sostituzione inversa, cominciamo a ricavare la $x$ in funzione di $t$:

$ e^x = t$

$ x = ln(t)$

e ora di nuovo differenziamo:

$ D(x)dx = D(\ln t) dt$

$ dx = \frac{1}{t} dt$

Ora dobbiamo sostituire semplicemente il termine $dx$ nell'integrale, cosa che possiamo fare tranquillamente.

Sostituiamo inoltre anche gli esponenziali, tenendo conto che $e^x = t$ e dunque $e^{-x} = t^{-1}$:

$ \int \frac{1}{t+t^{-1}} \cdot \frac{1}{t} dt$

moltiplico le due frazioni:

$ \int \frac{1}{t^2+1} dt$

Quello che ho ottenuto è banalmente l'integrale dell'arcotangente:

$ = \arctan (t) +c$

Infine, risostituisco $t=e^x$ nella soluzione:

$ = \arctan (e^x) + c$

Noemi