[Risolto] Integrali

Procedo per sostituzione:

x^2 + 1 = t

quindi: x = - √(t - 1) ∨ x = √(t - 1)

(scelgo la seconda soluzione per via dell'integrazione che si vuole effettuare)

Quindi:

dx=1/(2·√(t - 1)) dt

Quindi l'integrale indefinito diventa:

∫(x·LN(x^2 + 1), x) dx =∫ √(t - 1)·LN(t)/(2·√t - 1) dt=

=∫(LN(t)/2) dt =t·LN(t)/2 - t/2

per x= e---->e^2 + 1 = t

per x=1---> 1^2 + 1 = t----> 2 = t

quindi:

(e^2 + 1)·LN(e^2 + 1)/2 - (e^2 + 1)/2-2·LN(2)/2 - 2/2 =

=(e^2 + 1)·LN(e^2 + 1)/2 - LN(2) - (e^2 - 1)/2

1/2 S 2x ln (x^2 + 1) dx =   1/2  S ln t dt       con t = x^2 + 1

Per parti    1/2 S 1* ln t dt = 1/2 [ t ln t - S t*1/t dt ] = 1/2 t ln t - t + C

[ (x^2 + 1)/2 ln (x^2 + 1) - (x^2 + 1) ]_[1,e] =

= (e^2 + 1)/2 ln (e^2 + 1) - (e^2 + 1) - 2/2 ln 2 + 2 =

= (e^2 + 1)/2 ln (e^2 + 1) - e^2 + 1 - ln 2

Con
* u = x^2 + 1
* du = 2*x*dx
si ha
* ∫ (x*ln(x^2 + 1))*dx = (1/2)*∫ ln(u)*du =
= u*(ln(u) - 1)/2 + c =
= (x^2 + 1)*(ln(x^2 + 1) - 1)/2 + c
VERIFICA al link
http://www.wolframalpha.com/input?i=d%2Fdx+%28x%5E2%2B1%29*%28ln%28x%5E2%2B1%29-1%29%2F2