Integrali

$\int \frac{x}{\sqrt{1-2x^2}} dx$

Quando hai una radice, trasformala in potenza:

$ \int \frac{x}{(1-2x^2)^{\frac{1}{2}}} dx$

e portala al numeratore:

$ \int x (1-2x^2)^{-\frac{1}{2}} dx$

Nota ora che la derivata del radicando è:

$ D(1-2x^2) = -4x$

Per integrare come funzione composta, serve che nell'integrale compaia la derivata. Nota che nell'integrale compare già il termine $x$, ma non $-4x$, dunque moltiplico e divido per $-4$:

$ \frac{1}{-4}\int -4x (1-2x^2)^{-\frac{1}{2}} dx$

Ora abbiamo un integrale di funzione composta. Puoi riconoscere il seguente integrale:

$ \int [f(x)]^n f'(x) dx = \frac{f(x)^{n+1}}{n+1} + c$

dove nel nostro caso 

$f(x)=1-2x^2$

$f'(x)=-4x$

e la potenza è $n=-1/2$

dunque otteniamo come soluzione:

$ = -\frac{1}{4} \frac{(1-2x^2)^{\frac{-1}{2}+1}}{\frac{-1}{2}+1}+c$

che possiamo riscrivere come:

$ = -\frac{1}{4} \frac{(1-2x^2)^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}+c$

$ = -\frac{1}{4} \cdot 2 (1-2x^2)^{\frac{1}{2}}+c$

$ = -\frac{1}{2} \cdot \sqrt{1-2x^2}+c$