Integrali

Il denominatore non è ulteriormente scomponibile, il suo discriminante è negativo Δ = -4

Procediamo con la divisione 

$ \frac{x^2}{x^2-4x+5} = 1 + \frac {4x-5}{x^2-4x+5} $

per cui 

$ = \int 1 \, dx + \int \frac {4x-5}{x^2-4x+5} = $

notiamo che la derivata del denominatore è $ 2x-4 $ riduciamo il numeratore a tale valore

$ = x + \int \frac {2x-4 + 2x-1}{x^2-4x+5} = $

$ = x + \int \frac {2x-4}{x^2-4x+5} + \int \frac {2x-1}{x^2-4x+5} = $

riscriviamo il denominatore nella forma 1+y^2

$ = x + ln (x^2 -4x+5) + \int \frac {2x-1}{1+(x-2)^2} = $

a questo punto la teoria impone una sostituzione, oppure posso ricordarmi la soluzione e scriverla direttamente.

La sostituzione da porre in atto è $ t = x-2 $

La formula risolutiva ci dice che

$ = x + ln (x^2 -4x+5) + ln (x^2 -4x+5) + 3 arctan(x-2) + c = $

$ = x + 2ln (x^2 -4x+5) + 3 arctan(x-2) + c  $