Integrali

intendiamo procedere con la decomposizione

$ \int \frac{1}{(x+3)(x-3)} \, dx = $

Procediamo con la decomposizione 

$ \frac{1}{(x^2-9)} = \frac{A}{x-3} + \frac{B}{x+3} $

$ 1 =  Ax+3A + Bx-3B $ dalla quale ricaviamo il sistema

$ \left\{\begin{aligned} A+B &= 0 \\ 3(A-B) &= 1 \end{aligned} \right. $ 
la soluzione è

• $A = \frac{1}{6}$
• $B = -\frac{1}{6}$

$ \int \frac{1}{x^2-9} \, dx = \frac{1}{6} \int \frac{1}{x-3} \, dx - \frac{1}{6} \int \frac{1}{x+3} \, dx = \frac{1}{6} \left( ln|x-3| - ln|x+3| \right) + c =$

$ =\frac{1}{6} ln \left|\frac{x-3}{x+3} \right| + c $ 

1 / [(x - 3) * (x + 3)] = A / (x - 3)  + B/ (x + 3) =

= [ A * (x + 3) + B (x - 3)] / [(x - 3) * (x + 3)]  =

= [Ax + Bx + 3A - 3B] / [(x - 3) * (x + 3)];

poniamo il numeratore uguale a 1;

x * (A + B) + 3 * (A - B) = 1

A + B = 0;

A = - B;

3* (A - B) = 1;

3 * (- B - B) = 1;

2B = - 1/3;

B = - 1/6;

A = + 1/6

∫ 1 / [(x - 3) * (x + 3)] dx = ∫[(1/6) / (x - 3)] dx + ∫[(- 1/6) / (x + 3)] dx =

= 1/6 ∫[1/(x - 3)] dx - 1/6 ∫[1 /(x + 3)] dx =

= (1/6) * [ln|x - 3|- ln|x + 3|] + C =

= (1/6) * ln |(x - 3) / (x + 3)| + C.

Ciao  @alby