Integrali

Bene, alla terza pubblicazione (cosa vietata dal Regolamento) finalmente sei riuscito a farmi leggere l'allegato! Alla prima era talmente illeggibile che l'avevo scambiato per manoscritto. E poi il tuo arrogante suggerimento "clicka sull'allegato" era così infantilmente offensivo da risultare commovente: ma come! Tu stai chiedendo un favore a chi ti legge (quindi anche a me), te ne stai fottendo del Regolamento che impone di trascrivere e vieta di pubblicare foto e poi per giunta suggerisci en passant e fischiettando che devo essere io ad arrabattarmi per leggere ciò che interessa a te? Tocca a te renderlo leggibile! Comprendi ora perché le due prime volte non ho voluto esaminare la cosa?
NON POSSO GARENTIRE DI RIUSCIRCI, MA CHE CI PROVO SENZ'ALTRO!
Adesso mi stampo il tuo allegato e me lo guardo con calma (sullo schermo non mi riesce e, non essendo trascritto, non posso fare Copia/Incolla nel mio editor per manipolarlo un po').
Quando avrò raggiunto una conclusione, anche se solo "non l'ho capito!", aggiornerò questa risposta con un "@salvatore_sigismondo" in cima in modo che te ne giunga notifica; non sarà una cosa breve perché devo fare qualche terapia, poi un parco desinare, poi una pausa digestiva se no non capisco una cippa.
A più tardi.

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@salvatore_sigismondo
AGGIORNAMENTO delle 16h 10' all'incirca
"... come si arriva alla parte in rosso?" lentamente e con TANTA pazienza.
"Attraverso che passaggi?" è proprio per quello che serve la pazienza!
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Dalle posizioni
* P = Primitiva richiesta
* t = √((1 - x)/(1 + x))
si ha la sequela (di conseguenze)
* (x = (1 - t^2)/(1 + t^2)) & (t >= 0)
* dx/dt = - 4*t/(1 + t^2)^2
* dx = - 4*t*dt/(1 + t^2)^2
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* P = ∫ x*(√((1 - x)/(1 + x)))*dx =
= ∫ ((1 - t^2)/(1 + t^2))*(t)*(- 4*t*dt/(1 + t^2)^2) =
= ∫ (4*(t^4 - t^2)/(t^2 + 1)^3)*dt =
= 4*∫ ((t^4 - t^2)/(t^2 + 1)^3)*dt
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L'identità
* (t^2 + 1)^2 - 3*(t^2 + 1) + 2 = t^4 - t^2
dà luogo a
* P/4 = ∫ ((t^4 - t^2)/(t^2 + 1)^3)*dt =
= ∫ (((t^2 + 1)^2 - 3*(t^2 + 1) + 2)/(t^2 + 1)^3)*dt =
= ∫ ((t^2 + 1)^2/(t^2 + 1)^3)*dt - ∫ (3*(t^2 + 1)/(t^2 + 1)^3)*dt + ∫ (2/(t^2 + 1)^3)*dt =
= ∫ dt/(t^2 + 1) - 3*∫ dt/(t^2 + 1)^2 + 2*∫ dt/(t^2 + 1)^3
E QUESTA E' L'ESPRESSIONE MARCATA CON LA SOTTOLINEATURA ROSSA, solo che è l'espressione di P/4 e non di P: gli appunti mi sembrano errati per un fattore quattro.
Per gli ulteriori sviluppi cerco di spicciare prima l'algebretta e poi i dettagli d'integrazione.
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* P41 = ∫ dt/(t^2 + 1) = arctg(t) + c
* P42 = ∫ dt/(t^2 + 1)^2 = (t/(t^2 + 1) + arctg(t))/2 + c
* P43 = ∫ dt/(t^2 + 1)^3 = ((3*t^2 + 5)*t/(t^2 + 1)^2 + 3*arctg(t))/8 + c
* P/4 = P4 = P41 - 3*P42 + 2*P43 =
= arctg(t) - 3*((t/(t^2 + 1) + arctg(t))/2) + 2*(((3*t^2 + 5)*t/(t^2 + 1)^2 + 3*arctg(t))/8) + c =
= (arctg(t) - (3*t^2 + 1)*t/(t^2 + 1)^2)/4 + c
* P = 4*P4 = arctg(t) - (3*t^2 + 1)*t/(t^2 + 1)^2 + c =
= arctg(t) - (3*t/(t^2 + 1) - 2*t/(t^2 + 1)^2) + c =
= arctg(t) - 3*t/(t^2 + 1) + 2*t/(t^2 + 1)^2 + c =
= arctg(√((1 - x)/(1 + x))) - 3*(√((1 - x)/(1 + x)))/((√((1 - x)/(1 + x)))^2 + 1) + 2*(√((1 - x)/(1 + x)))/((√((1 - x)/(1 + x)))^2 + 1)^2 + c =
= arctg(√((1 - x)/(1 + x))) - (3/2)*(x + 1)*√((1 - x)/(1 + x)) + ((x + 1)^2/2)*√((1 - x)/(1 + x)) + c =
= arctg(√((1 - x)/(1 + x))) - ((3/2)*(x + 1) - (x + 1)^2/2)*√((1 - x)/(1 + x)) + c =
= arctg(√((1 - x)/(1 + x))) + ((x + 1)*(x - 2)/2)*√((1 - x)/(1 + x)) + c
CONTROPROVA nel paragrafo "Derivative" al link
http://www.wolframalpha.com/input?i=d%2Fdx%28arctg%28%E2%88%9A%28%281-x%29%2F%281%2Bx%29%29%29%2B%28%28x%2B1%29*%28x-2%29%2F2%29*%E2%88%9A%28%281-x%29%2F%281%2Bx%29%29%2Bc%29
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DETTAGLI
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Dalle Tavole
* P41 = ∫ dt/(t^2 + 1) = arctg(t) + c
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Per riduzione
* P42 = ∫ dt/(t^2 + 1)^2 =
= (1/(2*(2 - 1)))*((2*2 - 3)*∫ dt/(t^2 + 1) + t/(t^2 + 1)^(2 - 1)) =
= (1/2)*(arctg(t) + t/(t^2 + 1)) =
= (t/(t^2 + 1) + arctg(t))/2 + c
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Per riduzione
* P43 = ∫ dt/(t^2 + 1)^3 =
= (1/(2*(3 - 1)))*((2*3 - 3)*∫ dt/(t^2 + 1)^2 + t/(t^2 + 1)^(3 - 1)) =
= (1/4)*(3*((t/(t^2 + 1) + arctg(t))/2) + t/(t^2 + 1)^2) =
= (1/4)*(3*((t/(t^2 + 1) + arctg(t))/2) + t/(t^2 + 1)^2) =
= ((3*t^2 + 5)*t/(t^2 + 1)^2 + 3*arctg(t))/8 + c
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NOTA PERSONALE
Per favore, mi fai sapere se ho cannato qualcosa o se va tutto come doveva andare?
Ultimamente la mia mente spara cazzate a mia insaputa.