[Risolto] Integrale triplo

Marcellini-Sbordone esercizi di analisi 2? 

Ricordo di avere fatto questo identico esercizio la bellezza di 29 anni fa quando studiavo analisi 2. Ma per rifarlo ci devo dedicare del tempo. Se ce la faccio domani ci provo.

@dialessluca

Premetto che come detto sono quasi 30 anni che non mi cimento con integrali tripli, qui l'unico cambiamento di variabile che mi pare possibile è quello a coordinate sferiche.

$\begin{cases} x &= \rho sin(\phi)cos(\theta) \\ y &= \rho sin(\phi)sin(\theta) \\ z &= \rho cos(\phi) \end{cases}$

il cui Jacobiano ha modulo

$\rho^2sin(\phi)$

vediamo cosa esce dal cono: $z=\sqrt{x^2+y^2}$ diventa:

$\rho cos(\phi) = \sqrt{\rho^2 sin^2(\phi)cos^2(\theta)+\rho^2 sin^2(\phi)sin^2(\theta)}$

semplificando rimane la relazione:

$cos(\phi) = sin(\phi)$

e dato che $\phi$ varia tra 0 e $\pi/2$ questo significa $\phi=\pi/4$

quindi dovremmo avere gli estremi delle tre variabili:

$0 \leq \rho \leq 1$

$0 \leq \phi \leq \pi/4$

$0 \leq \theta \leq 2\pi$

e quindi l'integrale si scrive:

$$\int^1_{0}\int^{2\pi}_0 \int^{\pi/4}_0 f(x,y,z) \rho^2 sin(\phi)\;d\rho d\phi d\theta$$

la f(x,y,z) diventa:

$$f(\rho, \phi,\theta)=(\rho^2 sin^2(\phi)cos^2(\theta)+\rho^2sin^2(\phi)sin^2(\theta)+\rho^2cos^2(\phi))^{\alpha}$$

che semplificata fa 

$$f(\rho, \phi,\theta)=(\rho^2)^{\alpha}$$

in definitiva devi risolvere:

$$\int^1_{0}\int^{2\pi}_0 \int^{\pi/4}_0 \rho^{4\alpha} sin(\phi)\;d\rho d\phi d\theta$$

a questo punto mi fermo, fammi sapere se riesci ad andare avanti e soprattutto se non ho sbagliato qualcosa (vedi premessa iniziale)