Qualcuno conosce una strategia per arrivare al risultato esatto di
S_[0,+oo] e^(-x^2) * sin^2(x)/x^2 dx ?
Il risultato numerico lo conosco, é accessibile su Wolfram.
Ma a me piacerebbe trovare un'espressione esatta.
A tale scopo, ho eseguito il cambio di variabile x^2 = u , per cui
x = sqrt(u) e dx = 1/(2 sqrt(u)) du
e arrivo a S_[0,+oo] e^(-u) * sin^2(sqrt(u))/u * 1/(2 sqrt(u)) du
in cui si riconosce 1/2 * L [ sin^2 (sqrt(t))/(t sqrt(t)) ]|s = 1
Ho consultato ancora Wolfram, che mi ha dato
L [ sin^2(sqrt(t))/(t sqrt(t)) ] = pi erf (1/sqrt(s)) - sqrt(pi)*e^(-1/s) *(e^(1/s) - 1) * sqrt(s)
e ponendo s = 1 si trova perfettamente. Ora la mia domanda é :
qual é il procedimento per ricavare l'ultima riga che ho scritto a mano;
OPPURE se c'é un modo alternativo a questo.
Grazie.
