Calcolare il volume del solido limitato dal paraboloide ellittico $z=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$ o dal semiellissoide $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+(z-1)^2=1, z \geq 1$.
$$
\text { Si trova : } \left.\frac{7}{6} \pi a b\right]
$$
PER FAVORE COME SI IMPOSTA SOLO IL DOMINIO
4226
punti
Livello 2
Nota che ellissoide e paraboloide hanno lo stesso asse e che si intersecano esattamente all'altezza del piano passante per il centro dell'ellissoide.
Infatti intersecando le due superfici hai:
$ z = \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2}$
$ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} +(z-1)^2 = 1$
ottieni:
$ z = 1-(z-1)^2$
$ z = 1-z^2+2z-1$
$ z^2 -z = 0$
$ z(z-1)=0$
cioè si intersecano sul piano $z=0$ (il piano xy) e sul piano $z=1$, con il centro dell'ellisse C(0,0,1).
Quindi il solido è composto dalla metà superiore dell'ellisse e dalla parte di paraboloide sottostante il piano $z=1$.
Il volume di metà ellissoide lo calcoli subito come:
$ V_e = \frac{1}{2} (\frac{4}{3}\pi ab^2)$
Per il paraboloide passa in coordinate ellittiche:
{$z = z$
{$x = arcos\theta$
{$y= brsin\theta$
quindi hai:
$ z = r^2$
Chiaramente devi integrare per $0\leq z \leq 1$ (non dimenticare lo Jacobiano che è J=|ab|), con $0<r<1$ e $0<\theta <2\pi$
Noemi
9874
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Livello 5
