Sto provando a risolvere il seguente integrale: integral(x*sqrt((1-x)/(1+x))) dx.
Ho provato a sostituire tutta la radice ponendo sqrt(1-x/1+x) = t e calcolando il differenziale
dx = (sqrt(1-x) * (1+x)^2)/ sqrt(1+x) dt. A questo punto la radice al differenziale diventa t e quindi:
dt = t*(1+(1-t^2)/1+t^2)^2 dx. Come proseguire ora?
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Si tratta di trovare una sostituzione che trasformi l'integrale irrazionale in un integrale di una funzione razionale.
Poniamo
$ t^2 = \frac {1-x}{1+x} $ dalla quale ricaviamo la x
$ x = \frac {1-t^2}{1+t^2} $ passando al differenziale
$ dx = -4 \frac{t}{(1+t^2)^2} dt $ l'integrale è così trasformato in
$ \int x\sqrt{\left( \frac{1-x}{1+x} \right) } \, dx = -4 \int \frac{(1-t^2)}{1+t^2} \cdot \frac{t \cdot t}{(1+t^2)^2} \, dt $
$ \int x\sqrt{\left( \frac{1-x}{1+x} \right) } \, dx = -4 \int \frac{t^2(1-t^2)}{(1+t^2)^3} \, dt $
a questo punto è "quasi" fatta.
Ti consiglio di controllare i conti.
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