Integrale definito con parametro.

Problema:

Si individui il valore di $k$ tale che $\int_1^4 ((k-1)x²+2kx-\frac{k+1}{√x})dx=-6$.

Soluzione:

Per risolvere il quesito posto è opportuno risolvere separatamente l'integrale trattando $k$ come parametro dato che il differenziale è $dx$.

$\int_1^4 ((k-1)x²+2kx-\frac{k+1}{√x})dx=[(k-1) \frac{x³}{3}+2k \frac{x²}{2} - (k+1) \frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}]^4_1=34k-23$

Risolvendo l'equazione data dal quesito per $k$ si ottiene:

$34k-23=-6$

$34k=17$

$k=\frac{1}{2}$

∫((k - 1)·x^2 + 2·k·x - (k + 1)/√x) dx =

=x^3·(k - 1)/3 + k·x^2 - 2·√x·(k + 1) 

Valutato in x= 4:

4^3·(k - 1)/3 + k·4^2 - 2·√4·(k + 1)=

=4·(25·k - 19)/3

Valutato in x = 1:

1^3·(k - 1)/3 + k·1^2 - 2·√1·(k + 1)=

=- (2·k + 7)/3

4·(25·k - 19)/3 - (- (2·k + 7)/3) = -6

4·(25·k - 19)/3 + (2·k + 7)/3 + 6 = 0

17·(2·k - 1) = 0----> k = 1/2