Integrale definito con parametro.

1/(x^3 + 2·x^2 + x + 2) = 1/((x + 2)·(x^2 + 1)) 

poniamo:

1/((x + 2)·(x^2 + 1)) = (Α·x + Β)/(x^2 + 1) + C/(x + 2)=

= (x^2·(c + Α) + x·(2·Α + Β) + c + 2·Β)/((x + 2)·(x^2 + 1))

Risolviamo:

{Α + C = 0

{2·Α + Β = 0

{C + 2·Β = 1

ottenendo: C = 1/5 ∧ Α = - 1/5 ∧ Β = 2/5

1/((x + 2)·(x^2 + 1)) =

=((- 1/5)·x + 2/5)/(x^2 + 1) + 1/5/(x + 2)

1/((x + 2)·(x^2 + 1)) =

=(2 - x)/(5·(x^2 + 1)) + 1/(5·(x + 2))

∫((2 - x)/(5·(x^2 + 1))) dx=

=2·ATAN(x)/5 - LN(x^2 + 1)/10

∫(1/(5·(x + 2))) dx = 

=LN(x + 2)/5

L'integrale indefinito è:

2·ATAN(x)/5 - LN(x^2 + 1)/10 + LN(x + 2)/5

Valutato in x = 1

2·ATAN(1)/5 - LN(1^2 + 1)/10 + LN(1 + 2)/5=

=LN(9/2)/10 + pi/10

valutato in x = 0

2·ATAN(0)/5 - LN(0^2 + 1)/10 + LN(0 + 2)/5= LN(2)/5

Quindi l'integrale dato vale:

LN(9/2)/10 + pi/10 - LN(2)/5 = LN(9/8)/10 + pi/10