Integrale definito con parametro.

Vediamo di eliminare il valore assoluto. Osserviamo che:

• L'intervallo di integrazione è simmetrico rispetto all'origine O(0,0)
• La funzione integranda è pari
  • • possiamo quindi integrare in [0, 1] e moltiplicare per due il risultato

$\int_{-1}^1 \frac{|x^2-1|}{x^2+1} \, dx =$

$ = 2\int_0^1 \frac{|x^2-1|}{x^2+1} \, dx =$ 

nell'intervallo [0,1] il polinomio x^2-1 assume solo valori negativi, per cui

$ = 2\int_0^1 \frac{1-x^2}{x^2+1} \, dx =$

$ = - 2\int_0^1 \frac{x^2-1}{x^2+1} \, dx =$

$ = - 2\int_0^1 \frac{x^2+1}{x^2+1}\, dx - 2\int_0^1 \frac{2}{x^2+1}\, dx =$

$ = - 2\int_0^1 1 \, dx - 4\int_0^1 \frac{1}{x^2+1}\, dx =$

$= \left. -2x + 4 arctan(x) \right|_0^1 =$

$ = 4arctan(1) - 2 =$

$ = \pi - 2 $