Integrale definito con parametro.

Siccome l'intervallo di integrazione è simmetrico e la funzione integranda è pari, quindi simmetrica rispetto all'asse delle y, calcoliamo l'integrale fra 0 e 2 e moltiplichiamo per due il risultato che così otteniamo.

Liberiamo il modulo interno:

ABS(x) = x  se x ≥ 0

ABS(x) = -x  se x < 0

Per la strategia adottata facciamo quindi riferimento alla parte in grassetto. Quindi analizziamo:

ABS(x^2 - 2·x) = x^2 - 2·x

se x^2 - 2·x ≥ 0----> x ≤ 0 ∨ x ≥ 2

Quindi fra x = 0 ed x = 2

Dovremo considerare l'integrale:

∫(2·x - x^2) dx = x^2 - x^3/3

Valutato in x=2:

2^2 - 2^3/3 = 4/3

Valutato in x=0 : 0

L'integrale richiesto quindi vale: 2·4/3 = 8/3

Osserviamo che

• L'intervallo di integrazione è simmetrico rispetto all'origine O(0, 0)
• La funzione è pari

Possiamo quindi, ridurre il calcolo nell'intervallo [0, 2] dove le x sono positive.

$= 2 \cdot \int_0^2 |x^2-2x|  \, dx =$

Inoltre, 

• nell'intervallo (0,2) la funzione integranda è negativa. L'integrale da calcolare sarà

$= 2 \cdot \int_0^2 2x-x^2  \, dx =$

$= 2 \cdot \left. x^2 - \frac{x^3}{3} \right|_0^2 =$

$ = 2 \left[ 4 - \frac{8}{3} \right] = \frac{8}{3} $