Integrale definito con parametro.

Calcoliamo dapprima l'indefinito supponendo k∈ℝ\{0}

$ = \int \frac{ln|k|}{x} \, dx + \int \frac{ln(x)}{x} \, dx = $

$ = ln|k| \int \frac{1}{x} \, dx + \int ln(x) \frac{1}{x} \, dx = $ 

$ = ln|k| ln(x) + \int ln(x) \frac{1}{x} \, dx = $ 

è un integrale immediato

$ = ln|k| ln(x) + \frac {ln^2(x)}{2} + c$

passiamo al definito

$ \left. ln|k| ln(x) + \frac {ln^2(x)}{2} \right|_{\frac{1}{k}}^k = $

$ = ln^2|k| + \frac {ln^2|k|}{2} - ln|k|ln(\frac{1}{|k|}) - \frac {ln^2|k|}{2} = $

$ = ln^2|k|  - ln(k)ln(\frac{1}{|k|}) = $

$ = ln^2|k|  + ln^2|k| = $

$ = 2 ln^2|k|$

Passiamo all'equazione

$ 2 ln^2|k| = \frac{1}{2} $

$ (ln|k|)^2 = \frac{1}{4} $

$ ln|k| = \pm \frac{1}{2} $

$ |k| = e ^{\pm \frac{1}{2}} = \sqrt{e}  \; \lor \;  \frac{1}{\sqrt{e}} $

$ k = \pm \sqrt{e}  \; \lor \;  \pm \frac{1}{\sqrt{e}} $