Integrale definito

Per avere una notazione più semplice, risolviamo dapprima l'indefinito

$ \int x \cdot ln(x-1) \, dx = $

per parti

• fattore finito $ f(x) = ln(x-1) \; ⇒ \; f'(x) = \frac{1}{x-1} $
• fattore differ. $ g'(x) = x \; ⇒ \; g(x) = \frac{x^2}{2}$

per cui

$ =\frac{x^2}{2} ln(x-1) - \frac{1}{2} \int \frac{x^2}{x-1} \, dx  = $

dividiamo l'integranda

$ =\frac{x^2}{2} ln(x-1) - \frac{1}{2} \int x+1- \frac{1}{x-1} \, dx  = $

$ =\frac{x^2}{2} ln(x-1) - \frac{x^2}{4} - \frac{x}{2} - \frac{1}{2}ln|x-1| + c $

passiamo al definito

$\int_2^4 x \cdot ln(x-1) \, dx =$

$= \left. \frac{x^2}{2} ln(x-1) - \frac{x^2}{4} - \frac{x}{2} - \frac{1}{2}ln|x-1| \right|_2^4 =$

$ = - \frac{16}{4} - 2 + (8-\frac{1}{2})ln(3) + 1+1- 0 =$

$ = \frac{15}{2} ln(3) - 4 $