Integrale definito

Possiamo risolvere questo integrale utilizzando una manipolazione algebrica e la regola della catena al contrario.

Notiamo che il numeratore x è quasi la derivata del denominatore x² + 1. Ci manca solo un fattore 2. Moltiplichiamo e dividiamo per 2:

(1/2) ∫ (2x / (x² + 1)) dx  da 0 a 2

Ora, possiamo vedere che il numeratore è esattamente la derivata del denominatore. Quindi, possiamo applicare la regola della catena al contrario, che ci dice che:

∫ (f'(x) / f(x)) dx = ln|f(x)| + C

Nel nostro caso, f(x) = x² + 1 e f'(x) = 2x. Quindi:

(1/2) ∫ (2x / (x² + 1)) dx = (1/2) ln|x² + 1| + C

Ora possiamo valutare l'integrale definito dai limiti di integrazione da 0 a 2:

(1/2) [ln|2² + 1| - ln|0² + 1|] = (1/2) [ln(5) - ln(1)] = (1/2) ln(5)

Risultato:

∫ (x / (x² + 1)) dx  da 0 a 2 = (1/2) ln(5)