iNTEGRALE DEFINITO

Per risolvere questo integrale, possiamo utilizzare l'integrazione per parti. La formula per l'integrazione per parti è:

∫u dv = uv - ∫v du

In questo caso, scegliamo:

* u = x

* dv = sin(2x) dx

Calcoliamo le derivate e le integrali:

* du = dx

* v = -cos(2x) / 2

Applichiamo la formula dell'integrazione per parti:

∫₀^π x sin(2x) dx = [-x cos(2x) / 2]₀^π - ∫₀^π (-cos(2x) / 2) dx

Valutiamo il primo termine:

[-x cos(2x) / 2]₀^π = -π cos(2π) / 2 - 0 = -π / 2

Risolviamo il secondo integrale:

∫₀^π (-cos(2x) / 2) dx = [-sin(2x) / 4]₀^π = 0

Mettendo insieme i risultati:

∫₀^π x sin(2x) dx = -π / 2 - 0 = -π / 2

Risultato:

∫₀^π x sin(2x) dx = -π / 2

Risolviamo l'indefinito per parti

• fattore finito $ f(x) = x \; ⇒ \; f'(x) = 1 $
• fattore differ. $ g'(x) = sin(2x) dx \; ⇒ \; g(x) = -\frac{1}{2}cos(2x)$

per cui

$ \int x sin(2x) \, dx = -\frac{1}{2} x cos(2x) + \frac{1}{2} \int cos(2x) \, dx =$

$ = -\frac{1}{2} x cos(2x) +\frac{1}{4} sin(2x) + c $

Passando al definito

$\int_0^{\pi} x sin(2x) \, dx =$

$= \left. -\frac{1}{2} x cos(2x) +\frac{1}{4} sin(2x) \right|_0^{\pi} = $

$ = -\frac{\pi}{2} $