iNTEGRALE DEFINITO

Per risolvere questo integrale, possiamo utilizzare l'integrazione per parti. La formula per l'integrazione per parti è:

∫u dv = uv - ∫v du

In questo caso, scegliamo:

* u = x

* dv = sin(2x) dx

Calcoliamo le derivate e le integrali:

* du = dx

* v = -cos(2x) / 2

Applichiamo la formula dell'integrazione per parti:

∫₀^π x sin(2x) dx = [-x cos(2x) / 2]₀^π - ∫₀^π (-cos(2x) / 2) dx

Valutiamo il primo termine:

[-x cos(2x) / 2]₀^π = -π cos(2π) / 2 - 0 = -π / 2

Risolviamo il secondo integrale:

∫₀^π (-cos(2x) / 2) dx = [-sin(2x) / 4]₀^π = 0

Mettendo insieme i risultati:

∫₀^π x sin(2x) dx = -π / 2 - 0 = -π / 2

Risultato:

∫₀^π x sin(2x) dx = -π / 2

Risolviamo l'indefinito per parti

• fattore finito $f(x)=x\Rightarrow f^{\prime }(x)=1$
• fattore differ. $g^{\prime }(x)=sin(2x)dx\Rightarrow g(x)=-\frac{1}{2}cos(2x)$

per cui

$\int xsin(2x)dx=-\frac{1}{2}xcos(2x)+\frac{1}{2}\int cos(2x)dx=$

$=-\frac{1}{2}xcos(2x)+\frac{1}{4}sin(2x)+c$

Passando al definito

${\int }_0^{\pi }xsin(2x)dx=$

$={-\frac{1}{2}xcos(2x)+\frac{1}{4}sin(2x)|}_0^{\pi }=$

$=-\frac{\pi }{2}$