Integrale definito

Question

[attach]103210[/attach] Risolvere senza la tecninca X SOSTITUZIONE.

cmc · Accepted Answer

Risolviamo a parte l'integrale indefinito, giusto per evitare scritture pesanti

$\int x^{2} l n x d x =$

La presenza del logaritmo ci suggerisce di provare con la tecnica di integrazione per parti.

fattore finito $f (x) = l n x \Rightarrow f^{'} (x) = \frac{1}{x}$
fattore differ. $g^{'} (x) = x^{2} \Rightarrow g (x) = \frac{x^{3}}{3}$

per cui

$= \frac{x^{3}}{3} l n (x) - \int \frac{1}{3} x^{2} d x =$

$= \frac{x^{3}}{3} l n (x) - \frac{1}{9} x^{3} d x + c$

Passiamo al definito

$\int_{1}^{2} x^{2} l n x d x =$

$= {\frac{x^{3}}{3} l n (x) - \frac{1}{9} x^{3} |}_{1}^{2} =$

$= \frac{8}{3} l n (2) - \frac{8}{9} + \frac{1}{9} =$

$= \frac{8}{3} l n (2) - \frac{7}{9}$

cmc

(@cmc)

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02/02/2025 17:10