Integrale definito

* Sostituzione:

   Poniamo u = a² - x²,  quindi du = -2x dx  e x dx = -du/2

* Modifichiamo i limiti di integrazione:

   * Se x = 0, allora u = a² - 0² = a²

   * Se x = a, allora u = a² - a² = 0

* Riscriviamo l'integrale con la sostituzione:

   ∫₀ᵃ x√(a² - x²) dx = -½ ∫ √u du

* Calcoliamo l'integrale:

   -½ ∫ √u du = -½ * (2/3) * u^(3/2) | da a² a 0

* Valutiamo l'integrale nei nuovi limiti:

   -⅓ [0^(3/2) - (a²)^(3/2)] = -⅓ (-a³) = (1/3) a³

Risultato:

L'integrale definito ∫₀ᵃ x√(a² - x²) dx  è uguale a (1/3) a³.

Rendiamolo immediato moltiplicandolo e dividendolo per -2.

$= \frac{1}{2} \int_0^a (a^2-x^2)^{\frac{1}{2}} (-2x) \, dx =$

$= - \frac{1}{2}\frac{2}{3} \left. (a^2-x^2)^{\frac{3}{2}} \right|_0^a = $

$ = -0 + \frac{1}{3} a^3 $