Buonasera, dovrei risolvere l'integrale definito fra 0 e 1 della funzione (x^1/2)/(x (x - 2)). Come posso procedere?
Buonasera, dovrei risolvere l'integrale definito fra 0 e 1 della funzione (x^1/2)/(x (x - 2)). Come posso procedere?
Parte prima : sostituzione
S sqrt(x)/(x(x-2)) dx
poni sqrt(x) = t
x = t^2
dx = 2t dt
S t * 2t dt /(t^2*(t^2-2)) ) = 2 S dt/(t^2 - 2) =
= 2 [ S A dt /( t - rad(2)) + S B dt / (t + rad(2) )
Porti avanti la decomposizione in fratti semplici e hai due integrali immediati.
Parte seconda
A ( t + rad(2)) + B ( t - rad(2) ) = 2 per ogni t
A + B = 0
A - B = rad(2)
A = rad(2)/2 e B = - rad(2)/2
Viene quindi rad(2)/2 * S ( 1/(t - rad(2)) - 1/(t + rad(2)) ) dt =
= rad(2)/2 * ln | [rad(x) - rad(2)]/[ rad(x) + rad(2) ] + C
per x = 1 ottieni rad(2)/2 * ln (rad(2) - 1)/(rad(2) + 1)
per x = 0 ottieni ln 1 = 0
Il valore é quindi rad(2)/2 ln (rad(2)-1)^2 = rad(2) ln (rad(2) - 1)
Nota - so che é esatto perché Symbolab dà un risultato numericamente equivalente
@eidosm ok, grazie, avevo seguito grossomodo lo stesso procedimento ma nel mio usciva un ln(-1) che non mi convinceva ad un certo punto, nonostante il valore numerico uscisse corretto.
Non si capisce quale sia la funzione integranda. E' forse questa:
y = √x/(x·(x - 2)) ??
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Procediamo per sostituzione:
√x = t----> x = t^2----> dx = 2·t·dt
Quindi abbiamo una funzione integranda in t:
t/(t^2·(t^2 - 2))·2·t = 2/(t^2 - 2) = 2/((t-√2)(t+√2))
quindi:
∫(2/((t - √2)·(t + √2)))dt = √2·LN(t - √2)/2 - √2·LN(t + √2)/2 +C
che in x è:
√2·LN(√x - √2)/2 - √2·LN(√x + √2)/2 +C
valutato in [0,1]
√2·LN(√2 - 1)
@lucianop ho evitato di usare il simbolo di radice perché in passato mi è stato detto che è poco chiaro. Comunque sì, la funzione è quella