Svolgere il seguente integrale senza la tecnica X sostituzione, spiegando i passaggi della tecnica utilizzata e il ragionamento.
Svolgere il seguente integrale senza la tecnica X sostituzione, spiegando i passaggi della tecnica utilizzata e il ragionamento.
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Livello 2
$\int_0^{ln(4)} \frac{e^x}{e^{2x} + 1} \, dx =$
è un integrale immediato del tipo arcotangente
$= \left. arctan(e^x) \right|_0^{ln(4)} =$
$= arctan(e^{ln(4)} ) - arctan(1) = $
$= arctan(4) - \frac{\pi}{4} $
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Livello 5
@cmc cmc, scusami ma come si fa a capire che diventa un immediato arcotangente? Mi spiego meglio, all'apparenza può ricondursi a un integrale di tipo esponenziale, dove puoi trovare la derivata del denominatore e aggiustare l' integrale moltiplicando e dividendo per 2. Quindi fuoriesce il logaritmo naturale di......La domanda è perchè si riconduce a un integrale arcotangente? E' un tipo di integrale particolare che se non lo sai vai sicuro sul logaritmo????
Considerando la soluzione arcotangente, quale passaggio si fa intermedio? Vedo che tu passi subito alla soluzione ma quali sono i passaggi intermedi?
Grazie mille sempre della tua disponibilità.
Bella domanda.
Integrali immediati che si riconducono all'arcotangente ve ne sono più di uno.
non occorre ricordarseli a memoria poiché puoi arrivare allo stesso risultato operando per sostituzione.
Quelli che conosco, nel senso che se mi viene il sospetto vado a controllare sono:
1) $ \int \frac{1}{1+f^2(x)} \cdot f'(x) \, dx = arctan(f(x)) $
2) $ \int \frac{1}{m^2+x^2} \, dx = \frac{1}{m} arctan(\frac{x}{m}) $
3) $ \int \frac{1}{m^2+f^2(x)} \cdot f'(x) \, dx = \frac{1}{m} arctan \left(\frac {f(x)}{m}\right) $
4) $ \int \frac{1}{m^2+(x+k)^2} \, dx = \frac{1}{m} arctan(\frac{x+k}{m}) $
il 3) e il 4) sono la generalizzazione dei più comuni 1) e 2).
@cmc Ah ok, qui c'era il trucco ovvero se non sai e conosci questi integrali particolari.....vai sul logaritmo, mannaggia.....Inoltre puoi arrivarci una volta individuato solo con la tecnica X SOSTITUZIONE. Ah cmc non si legge il terzo passaggio. Grazie mille sempre top!